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最短路徑算法例子（最短路徑算法例題）

發(fā)布時間：2023-04-14 15:41:26 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 82

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本文目錄:

1、最短路徑法如何計算
2、求寫最短路徑算法。由A地到E地，途經(jīng)B（B1，B2，B3）C（C1，C2，C3）地，基于矩陣乘法求最短路徑。給出步驟
3、求解：圖論中常見的最短路徑算法有幾種？都是什么？
4、圖論中常見的最短路徑算法有幾種？都是什么

最短路徑算法例子（最短路徑算法例題）

一、最短路徑法如何計算

最短路徑算法有三種，F(xiàn)loyd，dijkstra，Bellman_Ford。其中，F(xiàn)loyd適合用于計算每兩點間的路徑，dijkstra適合稀疏圖，bellman則適合稠密圖中的已知起點終點，計算最短路徑的問題。時間復(fù)雜度，floyd算法為n立方，dijk為n平方，bellman為n平方，其中n是點數(shù)。dijk可用堆維護，時間復(fù)雜度可減至nlogn，而bellman可用隊列維護，此方法于1994年被國人提出，命名比較土鱉叫SPFA(shortest path faster algorithm。。。)。至于如何計算，有了名字，搜一下就ok。

二、求寫最短路徑算法。由A地到E地，途經(jīng)B（B1，B2，B3）C（C1，C2，C3）地，基于矩陣乘法求最短路徑。給出步驟

們把求A →E 的最短路分解為四個階段A →B →C→D →E 來求解。每一個階段可以用一個矩陣來表示，這個矩陣稱為權(quán)矩陣。相鄰階段的路徑可以用權(quán)矩陣的乘積來表示。但這里的矩陣乘法和普通矩陣乘積運算的區(qū)別是:普通矩陣乘積其對應(yīng)元素是相應(yīng)元素乘積的代數(shù)和,這里把元素相乘改為相加,元素的代數(shù)和改為取小運算,如果不同層節(jié)點間沒有連接,則視它們之間的距離為無窮大. 如果是求極大,改為取大運算,此時如果不同層節(jié)點間沒有連接，則視它們的距離為0。

如下：

由A地到B地的距離可表示為：A[2 5 8]

由B地到C地的權(quán)矩陣可表示為

[3，6，5；7，10，8；4，9，6]

因此由A到C的權(quán)矩陣為[2，5，8][3，6，5；7，10，8；4，9，6]＝[5，8，7]

因此由A到D的權(quán)矩陣為[5，8，7)][7，5；3，4；5，2]＝[11 ，9]

由A→E的權(quán)矩陣為：[11 ，9][4，2)]=[15,11]

因此從家里到學(xué)校的最短距離為11百米，最近的路徑為從A地出發(fā)經(jīng)過B1地C1地D2地到達E地。

下面我們給出基于“矩陣乘法”求解最短路的算法:

第一階段:計算出圖中從起始點到終點最短路的長度.

step1 　劃分出該網(wǎng)絡(luò)圖中的層次關(guān)系(網(wǎng)絡(luò)劃分為N 層,起點為第一層,終點為第N 層) ;

step2 　依次給出從第i 層到第i + 1 層的權(quán)矩陣( i= 1 ,2 , …, N21) ; (若第i 層有m 個頂點;第i + 1 層有n

個頂點, 則從第i 層到第i + 1 層的權(quán)矩陣為m *n

階) .

step3 　按照我們定義的矩陣乘法計算出最短路的

數(shù)值.

第二階段:尋找最短路所經(jīng)過的中間點.

(利用第一階段中step2 的數(shù)據(jù)) 計算出從第i 層到

終點的最短路, 對比與i21 層到終點的最短路, 從而確

定出第i 層上最短路所經(jīng)過的頂點( i = 2 , …, N21) .

三、求解：圖論中常見的最短路徑算法有幾種？都是什么？

算法 Algorithm

算法是在有限步驟內(nèi)求解某一問題所使用的一組定義明確的規(guī)則。通俗點說，就是計算機解題的過程。在這個過程中，無論是形成解題思路還是編寫程序，都是在實施某種算法。前者是推理實現(xiàn)的算法，后者是操作實現(xiàn)的算法。

一個算法應(yīng)該具有以下五個重要的特征：

1、有窮性：一個算法必須保證執(zhí)行有限步之后結(jié)束；

2、確切性：算法的每一步驟必須有確切的定義；

3、輸入：一個算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸入是指算法本身定除了初始條件；

4、輸出：一個算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果。沒有輸出的算法是毫無意義的；

5、可行性：算法原則上能夠精確地運行，而且人們用筆和紙做有限次運算后即可完成。

算法的設(shè)計要求

1）正確性（Correctness）

有4個層次：

A．程序不含語法錯誤；

B．程序?qū)捉M輸入數(shù)據(jù)能夠得出滿足規(guī)格要求的結(jié)果；

C．程序?qū)倪x擇的、典型的、苛刻的、帶有刁難性的幾組輸入數(shù)據(jù)能夠得出滿足規(guī)格要求的結(jié)果；

D．程序?qū)σ磺泻戏ǖ妮斎霐?shù)據(jù)都能產(chǎn)生滿足規(guī)格要求的結(jié)果。

2）可讀性（Readability）

算法的第一目的是為了閱讀和交流；

可讀性有助于對算法的理解；

可讀性有助于對算法的調(diào)試和修改。

3）高效率與低存儲量

處理速度快；存儲容量小

時間和空間是矛盾的、實際問題的求解往往是求得時間和空間的統(tǒng)一、折中。

算法的描述算法的描述方式（常用的）

算法描述自然語言

流程圖特定的表示算法的圖形符號

偽語言包括程序設(shè)計語言的三大基本結(jié)構(gòu)及自然語言的一種語言

類語言類似高級語言的語言，例如，類PASCAL、類C語言。

算法的評價算法評價的標準：時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

1）時間復(fù)雜度指在計算機上運行該算法所花費的時間。用“O（數(shù)量級）”來表示，稱為“階”。

常見的時間復(fù)雜度有： O（1）常數(shù)階；O（logn）對數(shù)階；O（n）線性階；O（n＾2）平方階

2）空間復(fù)雜度指算法在計算機上運行所占用的存儲空間。度量同時間復(fù)雜度。

時間復(fù)雜度舉例

（a） X：=X+1 ； O（1）

（b） FOR I：=1 TO n DO

X：= X+1； O（n）

（c） FOR I：= 1 TO n DO

FOR J：= 1 TO n DO

X：= X+1； O（n＾2）

“算法”一詞最早來自公元 9世紀波斯數(shù)學(xué)家比阿勒·霍瓦里松的一本影響深遠的著作《代數(shù)對話錄》。20世紀的英國數(shù)學(xué)家圖靈提出了著名的圖靈論點，并抽象出了一臺機器，這臺機器被我們稱之為圖靈機。圖靈的思想對算法的發(fā)展起到了重要的作用。

算法是計算機處理信息的本質(zhì)，因為計算機程序本質(zhì)上是一個算法，告訴計算機確切的步驟來執(zhí)行一個指定的任務(wù)，如計算職工的薪水或打印學(xué)生的成績單。一般地，當算法在處理信息時，數(shù)據(jù)會從輸入設(shè)備讀取，寫入輸出設(shè)備，可能保存起來以供以后使用。

這是算法的一個簡單的例子。

我們有一串隨機數(shù)列。我們的目的是找到這個數(shù)列中最大的數(shù)。如果將數(shù)列中的每一個數(shù)字看成是一顆豆子的大小可以將下面的算法形象地稱為“撿豆子”：

首先將第一顆豆子（數(shù)列中的第一個數(shù)字）放入口袋中。

從第二顆豆子開始檢查，直到最后一顆豆子。如果正在檢查的豆子比口袋中的還大，則將它撿起放入口袋中，同時丟掉原先的豆子。最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一顆。

下面是一個形式算法，用近似于編程語言的偽代碼表示

給定：一個數(shù)列“l(fā)ist"，以及數(shù)列的長度"length(list)" largest = list[1] for counter = 2 to length(list): if list[counter] > largest: largest = list[counter] print largest

符號說明:

= 用于表示賦值。即：右邊的值被賦予給左邊的變量。

List[counter] 用于表示數(shù)列中的第 counter 項。例如：如果 counter 的值是5，那么 List[counter] 表示數(shù)列中的第5項。

<= 用于表示“小于或等于”。

算法的分類

（一）基本算法 :

1.枚舉

2.搜索:

深度優(yōu)先搜索

廣度優(yōu)先搜索

啟發(fā)式搜索

遺傳算法