經(jīng)過所有點的最短路徑算法（經(jīng)過所有的點求最短的路線）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關于經(jīng)過所有點的最短路徑算法的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之圖：求所有節(jié)點之間的最短路徑，用什么算法時間復雜度小？求答案與解釋

• 2、最短路徑 | 深入淺出Dijkstra算法（一）

• 3、圖遍歷算法之最短路徑Dijkstra算法

• 4、最短路Dijkstra算法怎么求起點到終點經(jīng)過的路程，就是把經(jīng)過的每個點都顯示出來，用c和c++都可，大牛來吧

一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之圖：求所有節(jié)點之間的最短路徑，用什么算法時間復雜度?。壳蟠鸢概c解釋

兩者時間復雜度一般都是O(n3)，但對于稀疏圖來說重復使用Dijkstra方法比較好！

Dijkstra算法時間復雜度為O（V*V+E）,可以用優(yōu)先隊列進行優(yōu)化，優(yōu)化后時間復雜

度變?yōu)?（v*lgn）。

源點可達的話，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。

當是稀疏圖的情況時，此時E=V*V/lgV，所以算法的時間復雜度可為O（V^2） ?？梢杂脙?yōu)先隊列進行優(yōu)化，優(yōu)化后時間復雜度變?yōu)?（v*lgn）。

具體詳細解釋你可以看看這個http://blog.chinaunix.net/uid-27164517-id-3287891.html。

二、最短路徑 | 深入淺出Dijkstra算法（一）

上次我們介紹了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意兩點的最短路徑， 這稱為 “多源最短路”。

這次來介紹 指定一個點（源點）到其余各個頂點的最短路徑， 也叫做 “單源最短路徑”。 例如求下圖中的 1 號頂點到 2、3、4、5、6 號頂點的最短路徑。

與 Floyd-Warshall 算法一樣，這里仍然 使用二維數(shù)組 e 來存儲頂點之間邊的關系， 初始值如下。

我們還需要用 一個一維數(shù)組 dis 來存儲 1 號頂點到其余各個頂點的初始路程， 我們可以稱 dis 數(shù)組為 “距離表”， 如下。

我們將此時 dis 數(shù)組中的值稱為 最短路的“估計值”。

既然是 求 1 號頂點到其余各個頂點的最短路程， 那就 先找一個離 1 號頂點最近的頂點。

通過數(shù)組 dis 可知當前離 1 號頂點最近是 2 號頂點。 當選擇了 2 號頂點后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”， 即 1 號頂點到 2 號頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。

為什么呢？你想啊， 目前離 1 號頂點最近的是 2 號頂點，并且這個圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過第三個頂點中轉(zhuǎn)，使得 1 號頂點到 2 號頂點的路程進一步縮短了。 因此 1 號頂點到其它頂點的路程肯定沒有 1 號到 2 號頂點短，對吧 O(∩_∩)O~

既然選了 2 號頂點，接下來再來看 2 號頂點 有哪些 出邊 呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。

先討論 通過 2->3 這條邊能否讓 1 號頂點到 3 號頂點的路程變短。 也就是說現(xiàn)在來比較 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 號頂點到 3 號頂點的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號頂點到 2 號頂點的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號頂點先到 2 號頂點，再通過 2->3 這條邊，到達 3 號頂點的路程。

我們發(fā)現(xiàn) dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個過程有個專業(yè)術(shù)語叫做 “松弛” 。即 1 號頂點到 3 號頂點的路程即 dis[3]，通過 2->3 這條邊 松弛成功。 這便是 Dijkstra 算法的主要思想： 通過 “邊” 來松弛 1 號頂點到其余各個頂點的路程。

同理通過 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 松弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。

剛才我們對 2 號頂點所有的出邊進行了松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

接下來，繼續(xù)在剩下的 3、4、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點。通過上面更新過 dis 數(shù)組，當前離 1 號頂點最近是 4 號頂點。此時，dis[4]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對 4 號頂點的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 3、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 3 號頂點。此時，dis[3]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。對 3 號頂點的所有出邊（3->5）進行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 5 號頂點。此時，dis[5]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

最后對 6 號頂點的所有出邊進行松弛。因為這個例子中 6 號頂點沒有出邊，因此不用處理。 到此，dis 數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。

最終 dis 數(shù)組如下，這便是 1 號頂點到其余各個頂點的最短路徑。

OK，現(xiàn)在來總結(jié)一下剛才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是 1 號頂點）最近的一個頂點，然后以該頂點為中心進行擴展，最終得到源點到其余所有點的最短路徑。

基本步驟如下：

在 博客 中看到兩個比較有趣的問題，也是在學習Dijkstra時，可能會有疑問的問題。

當我們看到上面這個圖的時候，憑借多年對平面幾何的學習，會發(fā)現(xiàn)在“三角形ABC”中，滿足不了 構(gòu)成三角形的條件(任意兩邊之和大于第三邊)。 納尼，那為什么圖中能那樣子畫？

還是“三角形ABC”，以A為起點，B為終點，如果按照平面幾何的知識， “兩點之間線段最短”， 那么，A到B的最短距離就應該是6(線段AB)，但是，實際上A到B的最短距離卻是3+2=5。這又怎么解釋？

其實，之所以會有上面的疑問，是因為 對邊的權(quán)值和邊的長度這兩個概念的混淆， 。之所以這樣畫，也只是為了方便理解（每個人寫草稿的方式不同，你完全可以用別的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：數(shù)組實現(xiàn)鄰接表可能較難理解，可以看一下 這里

參考資料：

Dijkstra算法是一種基于貪心策略的算法。每次新擴展一個路程最短的點，更新與其相鄰的點的路程。當所有邊權(quán)都為正時，由于不會存在一個路程更短的沒擴展過的點，所以這個點的路程永遠不會再被改變，因而保證了算法的正確性。

根據(jù)這個原理， 用Dijkstra算法求最短路徑的圖不能有負權(quán)邊， 因為擴展到負權(quán)邊的時候會產(chǎn)生更短的路徑，有可能破壞了已經(jīng)更新的點路徑不會發(fā)生改變的性質(zhì)。

那么，有沒有可以求帶負權(quán)邊的指定頂點到其余各個頂點的最短路徑算法（即“單源最短路徑”問題）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一種。（我們已經(jīng)知道了 Floyd-Warshall 可以解決“多源最短路”問題，也要求圖的邊權(quán)均為正）

通過 鄰接矩陣 的Dijkstra時間復雜度是 。其中每次找到離 1 號頂點最近的頂點的時間復雜度是 O(N)，這里我們可以用 優(yōu)先隊列（堆） 來優(yōu)化，使得這一部分的時間復雜度降低到 。這個我們將在后面討論。

三、圖遍歷算法之最短路徑Dijkstra算法

最短路徑問題是圖論研究中一個經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖中兩節(jié)點或單個節(jié)點到其他節(jié)點之間的最短路徑。根據(jù)問題的不同，算法的具體形式包括：

常用的最短路徑算法包括：Dijkstra算法，A 算法，Bellman-Ford算法，SPFA算法（Bellman-Ford算法的改進版本），F(xiàn)loyd-Warshall算法，Johnson算法以及Bi-direction BFS算法。本文將重點介紹Dijkstra算法的原理以及實現(xiàn)。

Dijkstra算法，翻譯作戴克斯特拉算法或迪杰斯特拉算法，于1956年由荷蘭計算機科學家艾茲赫爾.戴克斯特拉提出，用于解決賦權(quán)有向圖的 單源最短路徑問題 。所謂單源最短路徑問題是指確定起點，尋找該節(jié)點到圖中任意節(jié)點的最短路徑，算法可用于尋找兩個城市中的最短路徑或是解決著名的旅行商問題。

問題描述 ：在無向圖 中， 為圖節(jié)點的集合， 為節(jié)點之間連線邊的集合。假設每條邊 的權(quán)重為 ，找到由頂點 到其余各個節(jié)點的最短路徑（單源最短路徑）。

為帶權(quán)無向圖，圖中頂點 分為兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用 表示）。初始時 只有源點，當求得一條最短路徑時，便將新增頂點添加進 ，直到所有頂點加入 中，算法結(jié)束。第二組為未確定最短路徑頂點集合（用 表示），隨著 中頂點增加， 中頂點逐漸減少。

以下圖為例，對Dijkstra算法的工作流程進行演示（以頂點 為起點）：

注：

01） 是已計算出最短路徑的頂點集合；

02） 是未計算出最短路徑的頂點集合；

03） 表示頂點 到頂點 的最短距離為3

第1步 ：選取頂點 添加進

第2步 ：選取頂點 添加進 ，更新 中頂點最短距離

第3步 ：選取頂點 添加進 ，更新 中頂點最短距離

第4步 ：選取頂點 添加進 ，更新 中頂點最短距離

第5步 ：選取頂點 添加進 ，更新 中頂點最短距離

第6步 ：選取頂點 添加進 ，更新 中頂點最短距離

第7步 ：選取頂點 添加進 ，更新 中頂點最短距離

示例：node編號1-7分別代表A,B,C,D,E,F,G

(s.paths <- shortest.paths(g, algorithm = "dijkstra"))輸出結(jié)果：

(s.paths <- shortest.paths(g,4, algorithm = "dijkstra"))輸出結(jié)果：

示例：

找到D（4）到G（7）的最短路徑：

[1] 維基百科，最短路徑問題： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF%E9%97%AE%E9%A2%98 ；

[2]CSDN，Dijkstra算法原理： https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681 ;

[3]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/RNeo4j/versions/1.6.4/topics/dijkstra ;

[4]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/igraph/versions/0.1.1/topics/shortest.paths ;

[5]Pypi: https://pypi.org/project/Dijkstar/

四、最短路Dijkstra算法怎么求起點到終點經(jīng)過的路程，就是把經(jīng)過的每個點都顯示出來，用c和c++都可，大牛來吧

是要怎么顯示，你的源程序里面已經(jīng)可以顯示經(jīng)過的所有點了

以上就是關于經(jīng)過所有點的最短路徑算法相關問題的回答。希望能幫到你，如有更多相關問題，您也可以聯(lián)系我們的客服進行咨詢，客服也會為您講解更多精彩的知識和內(nèi)容。

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